Question

如圖，已知直線l：x=my+1過橢圓的右焦點F，拋物線：的焦點為橢圓C的上頂點，且直線l交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點D、K、E．（1）橢圓C的方程；（2）直線l交y軸于點M，且，當m變化時，探求λ₁+λ₂的值是否為定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否則，說明理由；（3）接AE、BD，試證明當m變化時，直線AE與BD相交于定點．

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2) 當m變化時，λ₁+λ₂的值為定值；

(3)當m變化時，AE與BD相交于定點

【解析】

試題分析：（1）知橢圓右焦點F（1，0），∴c=1，

拋物線的焦點坐標，∴∴b²=3

∴a²=b²+c²=4∴橢圓C的方程  4分

（2）知m≠0，且l與y軸交于，

設直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

由-  5分

∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0

∴  6分

又由

∴

同理-  7分

∴

∵

∴

所以，當m變化時，λ₁+λ₂的值為定值；  9分

（3）：由（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）

方法1）∵   10分

當時，=

=  12分

∴點在直線l_AE上，  13分

同理可證，點也在直線l_BD上；

∴當m變化時，AE與BD相交于定點  14分

方法2）∵  10分

-  11分

=  12分

∴k_EN=k_AN∴A、N、E三點共線，

同理可得B、N、D也三點共線；  13分

∴當m變化時，AE與BD相交于定點．  14分

考點：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系

點評：解決的關鍵是對于橢圓的幾何性質的表示，以及聯立方程組的思想結合韋達定理來求解，屬于基礎題。