【題目】已知函數(shù)f(x)= 為偶函數(shù).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)記集合E={y|y=f(x),x∈{﹣1,1,2}},λ=(lg 2)2+lg 2lg 5+lg 5﹣ ,判斷λ與E的關系;
(3)當x∈[ , ](m>0,n>0)時,若函數(shù)f(x)的值域為[2﹣3m,2﹣3n],求m,n的值.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)= ,則f(﹣x)= = ,

又由函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則有f(﹣x)=f(x),

=

解可得a=﹣1;


(2)解:由(1)可得a=﹣1,則f(x)= ,

則有f(1)=f(﹣1)=0,f(2)= ,

則集合E={y|y=f(x),x∈{﹣1,1,2}}={0, },

λ=(lg 2)2+lg 2lg 5+lg 5﹣ =lg2(lg2+lg5)+lg5﹣ =lg2+lg5﹣ = ,

則有λ∈E;


(3)解:由(1)可得a=﹣1,則f(x)= =1﹣ ,則函數(shù)在(0,+∞)為增函數(shù),

若當x∈[ , ](m>0,n>0)時,函數(shù)f(x)的值域為[2﹣3m,2﹣3n],

則有 ,

解可得m= ,n= ,

又由 且m>0,n>0,則有0<n<m,

則m= ,n=


【解析】(1)根據(jù)題意,由函數(shù)奇偶性的性質建立方程 = ,解可得a的值;(2)由(1)可得a的值,即可得函數(shù)的解析式,由此可得集合E,由對數(shù)的運算性質計算可得λ的值,分析可得答案;(3)由(1)可得函數(shù)的解析式,進而可以斷函數(shù)的單調性,結合函數(shù)的值域建立方程關系進行求解即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質的相關知識,掌握在公共定義域內,偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇.

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A.
B.
C.
D.

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A.2π
B.
C.
D.

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A.1
B. ﹣2
C.2+
D.2

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