Question

已知雙曲線

x2

9-k

+

y2

k-4

=1的離心率e＜2，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由方程表示雙曲線求得k的范圍，然后分類求出a²，c²，結(jié)合離心率e＜2求解k的范圍．

解答： 解：∵

x2

9-k

+

y2

k-4

=1為雙曲線的方程，
∴（9-k）（k-4）＜0，即k＜4或k＞9，
當(dāng)k＜4時(shí)，雙曲線方程為

x2

9-k

-

y2

4-k

=1，
a²=9-k，b²=4-k，
c²=a²+b²=13-2k，
由e=

c

a

＜2，得

c2

a2

＜4，即

13-2k

9-k

＜4，解得：k＜

23

2

，
∴k＜4；
當(dāng)k＞9時(shí)，雙曲線方程為

y2

k-4

-

x2

k-9

=1，
a²=k-4，b²=k-9，
c²=a²+b²=2k-13，
由e=

c

a

＜2，得

c2

a2

＜4，即

2k-13

k-4

＜4，解得：k＞

3

2

，
∴k＞9．
綜上，k的范圍是k＜4或k＞9．
故答案為：k＜4或k＞9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是基礎(chǔ)題．