Question

若對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程log₂（ax²+2x+1）-m=0恒有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中關(guān)于x的方程log₂（ax²+2x+1）-m=0恒有解，可得函數(shù)f（x）=log₂（ax²+2x+1）的值域?yàn)镽，則函數(shù)g（x）=ax²+2x+1的值域A滿足：（0，+∞）⊆A，結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答： 解：∵關(guān)于x的方程log₂（ax²+2x+1）-m=0恒有解，
則函數(shù)f（x）=log₂（ax²+2x+1）的值域?yàn)镽，
則函數(shù)g（x）=ax²+2x+1的值域A滿足：（0，+∞）⊆A，
當(dāng)a=0時(shí)，滿足條件，
當(dāng)a≠0時(shí)，

a＞0 △=4-4a≥0

，解得a∈（0，1]，
綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，1]，
故答案為：[0，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．