Question

某化工廠生產(chǎn)的某種化工產(chǎn)品，當(dāng)年產(chǎn)量在150噸至250噸之間時(shí)，其生產(chǎn)的總成本y（萬元）與年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式近似地表示為y=

x2

10

-30x+4000．問：
（1）每噸平均出廠價(jià)為16萬元，年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可獲得最大利潤？并求出最大利潤；
（2）年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每噸的平均成本最低？并求出最低成．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意得出z=16x-（

x2

10

-30x+4000）=-

x2

10

+46x-4000=-

1

10

（x-230）²+1290，（150≤x≤250），利用二次函數(shù)求解即可．
（2）得出函數(shù)式子W=

y

x

=

x

10

4000

x

-30=

1

10

（x+

40000

x

）-30，（150≤x≤250），運(yùn)用基本不等式求解即可．

解答： 解：（1）年產(chǎn)量為x，年利潤為z萬元，根據(jù)題意得：
z=16x-（

x2

10

-30x+4000）=-

x2

10

+46x-4000
=-

1

10

（x-230）²+1290，（150≤x≤250），
當(dāng)x=230時(shí)，y_大=1290（萬元），
（2）年產(chǎn)量為x噸時(shí)，每噸的平均成本為W萬元，為y=

x2

10

-30x+4000．
∴W=

y

x

=

x

10

4000

x

-30=

1

10

（x+

40000

x

）-30，（150≤x≤250），
∵x+

40000

x

≥2

40000

=400，（x=200等號成立），
∴x=200時(shí)，W_最小=

1

10

×400-30=10．
故年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸的平均成本最低為10萬元．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)，基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．