Question

證明：對任意大于2的正整數(shù)n，（1+2+…+n）（1+

1

2

+…+

1

n

）≥n²+n-1．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．驗(yàn)證當(dāng)n=3、4時(shí)，不等式成立，假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，證明n=k+1時(shí)，不等式也成立，注意運(yùn)用分析法證明，結(jié)合假設(shè)即可得證．

解答： 證明：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)n=3時(shí)，不等式左邊=（1+2+3）（1+

1

2

+

1

3

）=11，右邊=3²+3-1=11，左邊=右邊，
不等式成立；
當(dāng)n=4時(shí)，左邊=（1+2+3+4）（1+

1

2

+

1

3

+

1

4

）=

125

6

，右邊=4²+4-1=19，左邊＞右邊，
不等式成立；
假設(shè)n=k時(shí)，（1+2+…+k）（1+

1

2

+…+

1

k

）≥k²+k-1（k≥3）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，要證（1+2+…+k+k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

+

1

k+1

）≥（k+1）²+k+1-1，
即證（1+2+…+k）（1+

1

2

+…+

1

k

）+（k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

）+

1

k+1

（1+2+…+k）≥（k+1）²+k，
由假設(shè)，可得即證k²+k-1+（k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

）+

1

k+1

（1+2+…+k）≥（k+1）²+k，
即有（k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

）+

1

k+1

（1+2+…+k）≥2k+2，
即（k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

）+

1

k+1

×

1

2

（k+1）k≥2k+2，
即有（k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

）≥2+

3k

2

，
即有（k+1）（

1

2

+…+

1

k

）≥1+

1

2

k，顯然

1

2

k+

1

2

+…+

k+1

k

≥1+

1

2

k．
以上均可逆．
則n=k+1時(shí)，（1+2+…+k+k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

+

1

k+1

）≥（k+1）²+k+1-1成立．
綜上，可得對任意大于2的正整數(shù)n，（1+2+…+n）（1+

1

2

+…+

1

n

）≥n²+n-1．

點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法，注意解題步驟，同時(shí)注意運(yùn)用分析法證明，考查推理能力，屬于中檔題．