Question

設⊙C₁，⊙C₂，…，⊙C_n是圓心在拋物線y=x²上的一系列圓，它們圓心的橫坐標分別記為a₁，a₂，…，a_n，已知a₁=

1

4

，a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，若⊙C_k（k=1，2，3，…，n）都與x軸相切，且順次兩圓外切．
（1）求證：{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）求a_n的表達式；
（3）求證：a₁²+a₂²+…+a_n²＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由題意知：⊙C_n：r_n=xn2=an2，⊙C_n-1 ；rn-1=an-12，根據(jù)兩圓相外切的性質(zhì)可知|C_n-1C_n|=r_n-1+r_n，根據(jù)兩點間的距離公式整理可求

1

an

-

1

an-1

=2，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求

1

an

進而可求a_n
（2）根據(jù)（1）可求

1

an

，進而可求a_n
（3）由

a

2 n

=

1

4

•

1

(n+1)2

＜

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項求和及不等式的放縮法可證

解答：（1）證明：由題意知：r_n=y_n=xn2=an2，rn-1=an-12
所以C_n-1（a_n-1，an-12），C_n（a_n，an2）…（2分）
∵|C_n-1C_n|=r_n-1+r_n，
∴

(an-1-an)2+(an-1-an2)2

=an-12+an2…（4分）
兩邊平方，整理得 (an-1-an)2=4an-12an2…（5分）
∵a_n-1＞a_n，
∴a_n-1-a_n=2a_n-1a_n…（6分）
∴

1

an

-

1

an-1

=2…（7分）
故{

1

an

}是以4為首項，公差為2的等差數(shù)列．…（8分）
（2）解：由（1）知，

1

an

=4+2(n-1)，
∴an=

1

2n+2

  …（10分）
（3）證明：∵

a

2 n

=

1

4

•

1

(n+1)2

＜

1

4

•

1

n(n+1)

…（11分）
=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)…（12分）
∴

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

=

n

k=1

1

4

(

1

k

-

1

k-1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)=

1

4

-

1

4(n+1)

＜

1

4

…（14分）

點評：本題主要考查了圓的外切性質(zhì)的應用，利用構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項公式及裂項求和方法的應用．