Question

8．已知對任意x∈R，cos（x+α）+sin（x+β）+$\sqrt{2}$cosx=0恒成立，其中α，β為常數(shù)．
（1）求cosα的值；
（2）求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由x的任意性，分別取x=0和x=$\frac{π}{2}$解方程組可得cosα=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）可得sinβ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinα，分類討論代入cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ計(jì)算可得．

解答 解：（1）由題意對任意x∈R，cos（x+α）+sin（x+β）+$\sqrt{2}$cosx=0恒成立，
取x=0可得cosα+sinβ+$\sqrt{2}$=0，∴sinβ=-（cosα+$\sqrt{2}$），①
取x=$\frac{π}{2}$可得-sinα+cosβ=0，∴cosβ=sinα，②
①²+②²可得cos²α+2$\sqrt{2}$cosα+2+sin²α=1，
∴cosα=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）把cosα=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$代入①可得sinβ=-（cosα+$\sqrt{2}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，cosβ=sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=0；
當(dāng)sinα=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，cosβ=sinα=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=0；
綜上可得cos（α+β）=0

點(diǎn)評 本題考查和差角的三角函數(shù)公式，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系和分類討論思想，屬中檔題．