Question

如圖，已知PA⊥平面ABCD，AP=AB=BC=

1

2

AD=2，∠ABC=∠DAC=60°，M是AP的中點．
（1）求證；BM∥平面PCD；
（2）求PD與平面PAB所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得△ABC為正三角形，從而四邊形MNCB為平行四邊形，進而BM∥CN，由此能證明BM∥平面PCD．
（Ⅱ）過點D作DO⊥BA，交BA的延長線于O，連結(jié)PO，則∠DPO是PD與平面PAB所成角，由此能求出PD與平面PAB所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵AP=AB=BC=2，AD=4，∠ABC=∠DAC=60°，
∴△ABC為正三角形，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∴BC∥AD，
設N是PD的中點，則MN

∥

.

1

2

AD，
又∵BC

∥

.

1

2

AD，∴MN

∥

.

BC，∴四邊形MNCB為平行四邊形，
∴BM∥CN，又BM?平面PCD，CN?平面PCD，
∴BM∥平面PCD．

（Ⅱ）解：過點D作DO⊥BA，交BA的延長線于O，
連結(jié)PO，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DO，
∴DO⊥平面PAB，∴∠DPO是PD與平面PAB所成角，記為θ，
在Rt△PDO中，PD=2

5

，DO=2

3

，∠PDO=90°，∴PO=2

2

，
∴cosθ=

PO

PD

=

2 2

2 5

=

10

5

．
故PD與平面PAB所成角的余弦值為

10

5

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．