Question

設x₁，x₂是方程ax²+（b-1）x+1=0（a＞0）的兩個實根．
（1）若0＜x₁＜2，x₂-x₁=2，求證：b＜

1

4

；
（2）若x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）時，求函數(shù)f（x）=-ax²-（b-1）x-1+2（x₂-x）最大h（a）的最小值．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系,二次函數(shù)的性質

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）可根據(jù)韋達定理求出x₁+x₂和x₁x₂，根據(jù)已知|x₂-x₁|可以用x₁+x₂和x₁x₂，表示出來，從而求出b的范圍；
（2）設f（x）=-ax²-（b-1）x-1+2（x₂-x）=-a（x-x₁）（x-x₂）-2（x-x₂）=-a（x-x₂）（x-x₁+

2

a

），再利用不等式進行放縮和利用導數(shù)進行求解．

解答： （1）證明：由題意，x₁+x₂=-

b-1

a

，x₁x₂=

1

a

兩式相除得-（b-1）=

1

x1

+

1

x2

，即b=-（

1

x1

+

1

x2

）+1     
當0＜x₁＜2時，由x₁x₂=

1

a

＞0，
∴x₂-x₁=2 即x₂=x₁+2
∴b=-

1

x1

-

1

x1+2

+1，x₁∈（0，2）
令函數(shù)φ（x）=-

1

x

-

1

x+2

+1（x＞0），則φ′（x）=

1

x2

+

1

(x+2)2

，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
∴當x₁∈（0，2）時，b=φ（x₁）＜φ（2）=-

1

2

-

1

4

+1=

1

4

，即b＜

1

4

；
（2）解：∵x₁，x₂是方程ax²+（b-1）x+1=0（a＞0）的兩個實根，
∴可設f（x）=-ax²-（b-1）x-1+2（x₂-x）=-a（x-x₁）（x-x₂）-2（x-x₂）=-a（x-x₂）（x-x₁+

2

a

） 
又x∈（x₁，x₂） 又a＞0，
∴x-x₁+

2

a

＞0
∴g（x）=|a（x-x₂）（x-x₁+

2

a

）|=a（x₂-x）（x-x₁+

2

a

）
≤a(

x2-x1+ 2 a

2

)2=a（1+

1

a

）²=a+

1

a

+2
當且僅當x₂-x₁=x-x₁+

2

a

即x=x₁+1-

1

a

時取等號
∴h（a）=a+

1

a

+2，（a＞0）
h′（a）=1-

1

a2

＜0
∴h（a）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)． 
∴h（a）_min=h（1）=4．

點評：主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用能力，具體涉及到用導數(shù)來研究函數(shù)的單調性等基礎知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力．