Question

20．已知f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，若實(shí)數(shù)m，n滿足等式$f（n-3）+f（\sqrt{4m-{m^2}-3}）=0$，則$\frac{n}{m}$的取值范圍是（　�。�

• A． $[2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}]$
• B． $[1，2+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}]$
• C． $[2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，3]$
• D． [1，3]

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）是遞增函數(shù)，且y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
再結(jié)合f（n-3）+f（$\sqrt{4m{-m}^{2}-3}$）=0可得（n-3）+$\sqrt{4m{-m}^{2}-3}$=0，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合求出結(jié)果．

解答 解：f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
又f（n-3）+f（$\sqrt{4m{-m}^{2}-3}$）=0，
所以（n-3）+$\sqrt{4m{-m}^{2}-3}$=0，且4m-m²-3≥0；
即$\left\{\begin{array}{l}{{（m-2）}^{2}{+（n-3）}^{2}=1}\\{1≤m≤3}\\{2≤n≤3}\end{array}\right.$，
畫(huà)出不等式組表示的圖形，如圖所示；
則實(shí)數(shù)m，n表示一段圓弧，
所以$\frac{n}{m}$表示圓弧上的點(diǎn)（m，n）與點(diǎn)（0，0）連線的斜率，
所以結(jié)合圖象可得：$\frac{n}{m}$的最大值是直線OA的斜率，為$\frac{3-0}{1-0}$=3，
最小值是直線OB的斜率，不妨設(shè)為k，
則$\left\{\begin{array}{l}{n=km}\\{{（m-2）}^{2}{+（n-3）}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消去n，得（m-2）²+（km-3）²=1，
整理得（k²+1）m²-（6k+4）m+12=0，
令△=（6k+4）²-4×12×（k²+1）=0，
化簡(jiǎn)得3k²-12k+8=0，
解得k=2±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
應(yīng)取k=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$為最小值；
所以$\frac{n}{m}$的取值范圍是：[2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，3]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了掌握知識(shí)與運(yùn)用知識(shí)的能力，是綜合性題目．