【題目】在平面幾何中,研究三角形內(nèi)任意一點與三邊的關(guān)系時,有真命題:邊長為的正三角形內(nèi)任意一點到各邊的距離之和是定值。類比上述命題,請寫出關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點與四個面的關(guān)系的一個真命題,并給出證明。

【答案】在一個棱長為的正四面體內(nèi)任意一點到各個面的距離之和是定值,證明見解析。

【解析】

通過類比,即可得到關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點與四個面的關(guān)系的一個真命題,利用幾何性質(zhì)即可證明。

類比邊長為的正三角形內(nèi)任意一點到各邊的距離之和是定值,得到正四面體內(nèi)任意一點與四個面的關(guān)系的一個真命題:在一個棱長為的正四面體內(nèi)任意一點到各個面的距離之和是定值,

如圖:

設(shè)為正四面體內(nèi)任意一點,正四面體的棱長為到面,面,面,面的距離分別為,由于正四面體四個面的面積相等,則有:

,

由于,所以,

所以棱長為的正四面體內(nèi)任意一點到各個面的距離之和為

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)及函數(shù)(a,b,c∈R),若a>b>ca+b+c=0.

(1)證明:f(x)的圖像與g(x)的圖像一定有兩個交點;

(2)請用反證法證明:;

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【題目】已知△ABC的兩條高線所在直線方程為2x-3y+1=0和xy=0,頂點A(1,2).

求(1)BC邊所在的直線方程;

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【題目】2018年2月22日,在韓國平昌冬奧會短道速滑男子500米比賽中,中國選手武大靖以連續(xù)打破世界紀(jì)錄的優(yōu)異表現(xiàn),為中國代表隊奪得了本屆冬奧會的首枚金牌,也創(chuàng)造中國男子冰上競速項目在冬奧會金牌零的突破.某高校為調(diào)查該校學(xué)生在冬奧會期間累計觀看冬奧會的時間情況,收集了200位男生、100位女生累計觀看冬奧會時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時).又在100位女生中隨機抽取20個人,已知這20位女生的數(shù)據(jù)莖葉圖如圖所示.

(1)將這20位女生的時間數(shù)據(jù)分成8組,分組區(qū)間分別為,,…,,完成下圖的頻率分布直方圖;

(2)以(1)中的頻率作為概率,求1名女生觀看冬奧會時間不少于30小時的概率;

(3)以(1)中的頻率估計100位女生中累計觀看時間小于20個小時的人數(shù),已知200位男生中累計觀看時間小于20小時的男生有50人.請完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為“該校學(xué)生觀看冬奧會累計時間與性別有關(guān)”.

附:).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2018年2月22日.在平昌冬奧會短道速滑男子500米比賽中.中國選手武大靖以連續(xù)打破世界紀(jì)錄的優(yōu)異表現(xiàn),為中國代表隊奪得了本屆冬奧會的首枚金牌,也創(chuàng)造中國男子冰上競速項目在冬奧會金牌零的突破.某高校為調(diào)查該校學(xué)生在冬奧會期間累計觀看冬奧會的時間情況.收集了200位男生、100位女生累計觀看冬奧會時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時).又在100位女生中隨機抽取20個人.已知這20位女生的數(shù)據(jù)莖葉圖如圖所示.

(1)將這20位女生的時間數(shù)據(jù)分成8組,分組區(qū)間分別為,在答題卡上完成頻率分布直方圖;

(2)以(1)中的頻率作為概率,求1名女生觀看冬奧會時間不少于30小時的概率;

(3)以(1)中的頻率估計100位女生中累計觀看時間小于20個小時的人數(shù).已知200位男生中累計觀看時間小于20小時的男生有50人請完成答題卡中的列聯(lián)表,并判斷是否有99 %的把握認為“該校學(xué)生觀看冬奧會累計時間與性別有關(guān)”.

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

附:.

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【題目】一個透明密閉的正方體容器中,恰好盛有該容器一半容積的水,任意轉(zhuǎn)動這個正方體,則水面在容器中的形狀可以是:(1)三角形;(2)長方形;(3)正方形;(4)正六邊形.其中正確的結(jié)論是____________.(把你認為正確的序號都填上)

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(1)證明:平面平面;

(2)若為棱的中點,,,求四面體的體積.

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