已知向量
m
=(x2，1)，
n
=(a，1-2ax)，其中a＞0．函數(shù)g（x）=
m
•
n
在區(qū)間x∈[2，3]上有最大值為4，設(shè)f（x）=
g(x)
x
．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若不等式f（3x）-k3x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
分析：（1）由向量的數(shù)量積求出函數(shù)g（x）的解析式，由函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，由最大值等于4求得a的值；
（2）求出函數(shù)f(x)=
g(x)
x
的解析式，代入f（3x）-k3x≥0后分離參數(shù)k，然后利用配方法求得函數(shù)的最值后得答案．
解答：解：（1）由題得g（x）=
m
•
n
=ax2+1-2ax=a（x-1）2+1-a，
當(dāng)a＞0時(shí)函數(shù)開口向上，對稱軸為x=1，在區(qū)間x∈[2，3]單調(diào)遞增，最大值為4，
∴g（x）max=g（3）=a（3-1）2+1-a=4，
∴a=1；                                  
（2）由（1）可知，g（x）=x2-2x+1，
∴f（x）=
g(x)
x
=x+
1
x
-2，
令t=3x，則t∈[
1
3
，3]，
∴f（3x）-k3x≥0可化為f（t）≥kt，
即k≤
f(t)
t
恒成立，
f(t)
t
=(
1
t
-1)2，且
1
t
∈[
1
3
，3]，
當(dāng)
1
t
=1，即t=1時(shí)
f(t)
t
取最小值為0，
∴k≤0．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)構(gòu)造法、換元法及分離變量法，訓(xùn)練了利用配方法求函數(shù)的最值，屬中高檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(x2，y-cx)，
n
=(1，x+b)，
m
∥
n
，（x，y，b，c∈R），且把其中x，y所滿足的關(guān)系式記為y=f（x），若f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，F(xiàn)（x）=f（x）+af′（x）（a＞0），且F（x）是R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求
b
a
和c的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[
a
2
，a2]上單調(diào)遞減，求b的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，設(shè)0＜t＜4且t≠2，曲線y=f（x）在點(diǎn)A（t，f（t））處的切線與曲線y=f（x）相交于點(diǎn)B（m，f（m））（A，B不重合），直線x=t與y=f（m）相交于點(diǎn)C，△ABC的面積為S，試用t表示△ABC的面積S（t），若P為S（t）上一動(dòng)點(diǎn)，D（4，0），求直線PD的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=（1，1），向量
n
與向量
m
夾角為
3π
4
，且
m
•
n
=-1．
（Ⅰ）求向量
n
；
（Ⅱ）設(shè)向量
a
=（1，0）向量
b
=（cosx，2cos2（
π
3
-
x
2
）），其中0＜x＜
2π
3
，若
a
⊥
n
，試求|
n
+
b
|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：眉山二模 題型：解答題

已知向量
m
=(x2，y-cx)，
n
=(1，x+b)，
m
∥
n
，（x，y，b，c∈R），且把其中x，y所滿足的關(guān)系式記為y=f（x），若f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，F(xiàn)（x）=f（x）+af′（x）（a＞0），且F（x）是R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求
b
a
和c的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[
a
2
，a2]上單調(diào)遞減，求b的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，設(shè)0＜t＜4且t≠2，曲線y=f（x）在點(diǎn)A（t，f（t））處的切線與曲線y=f（x）相交于點(diǎn)B（m，f（m））（A，B不重合），直線x=t與y=f（m）相交于點(diǎn)C，△ABC的面積為S，試用t表示△ABC的面積S（t），若P為S（t）上一動(dòng)點(diǎn)，D（4，0），求直線PD的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(理)已知函數(shù)f(x)=xlnx.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;

(2)當(dāng)b＞0時(shí)，求證:bb≥(其中e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù));

(3)若a＞0,b＞0，證明f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).

(文)已知向量m=(x2,y-cx),n=(1,x+b)(x,y,b,c∈R)且m∥n,把其中x,y所滿足的關(guān)系式記為y=f(x).若f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),F(x)=f(x)+af′(x)(a＞0),且F(x)是R上的奇函數(shù).

(1)求和c的值.

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(用字母a表示).

(3)當(dāng)a=2時(shí),設(shè)0＜t＜4且t≠2,曲線y=f(x)在點(diǎn)A(t,f(t))處的切線與曲線y=f(x)相交于點(diǎn)B(m,f(m))(A與B不重合),直線x=t與y=f(m)相交于點(diǎn)C,△ABC的面積為S,試用t表示△ABC的面積S(t),并求S(t)的最大值.

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同步練習(xí)冊答案