Question

某市某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域是半徑為R的圓面．該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地，測量可知邊界AB=AD=4千米，BC=6千米，CD=2千米，
（1）求原棚戶區(qū)建筑用地ABCD中對角線AC的長度；
（2）請計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）連接AC，由四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得到∠ABC+∠ADC=180°，在三角形ABC與三角形ADC中，分別利用余弦定理表示出AC²，將各自的值代入求出cos∠ABC的值，進(jìn)而確定出∠ABC與∠ADC的度數(shù)，代入計(jì)算即可求出AC的長；
（2）四邊形ABCD面積=三角形ABC面積+三角形ADC面積，求出即可；在三角形ABC中，利用正弦定理即可求出R的值．

解答： 解：（1）連接AC，
∵四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵AB=AD=4千米，BC=6千米，CD=2千米，
∴由余弦定理得：AC²=4²+6²-2×4×6cos∠ABC=4²+2²-2×2×4cos∠ADC，
∴cos∠ABC=

1

2

，
∵∠ABC為三角形內(nèi)角，
∴∠ABC=60°，∠ADC=120°，
∴AC²=4²+6²-2×4×6×

1

2

=28，即AC=2

7

（千米）；
（2）根據(jù)題意得：S_{四邊形ABCD}=

1

2

×4×6sin60°+

1

2

×2×4sin120°=8

3

（平方千米），
由正弦定理得：2R=

AC

sinB

=

2 7

3 2

=

4 21

3

（千米），
則R=

2 21

3

（千米）．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．