Question

設數(shù)列{a_n}的首項不為零，前n項和為S_n，且對任意的r，t∈N^*，都有

Sr

St

=(

r

t

)2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式（用a₁表示）；
（2）設a₁=1，b₁=3，bn=Sbn-1（n≥2，n∈N^*），求證：數(shù)列{log₃b_n}為等比數(shù)列；
（3）在（2）的條件下，求T_n=

n

k=2

bk-1

bk-1

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出Sn=a1n2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由已知條件推導出bn=Sbn-1=bn-12，由此能證明數(shù)列{log₃b_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（3）由（2）推導出bn=32n-1(n∈N*)．由此能求出T_n=

n

k=2

bk-1

bk-1

．

解答： （1）解：因為a₁=S₁≠0，令t=1，r=n，
則

Sr

St

=(

r

t

)2，得

Sn

S1

=n2，即Sn=a1n2．…2分
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=a₁（2n-1），
且當n=1時，此式也成立．
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a₁（2n-1）．…5分
（2）證明：當a₁=1時，由（1）知a_n=a₁（2n-1）=2n-1，S_n=n²．
依題意，n≥2時，bn=Sbn-1=bn-12，…7分
于是log3bn=log3bn-12=2log3bn-1(n ≥ 2，  n∈N)，且log₃b₁=1，
故數(shù)列{log₃b_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．…10分
（3）解：由（2）得log3bn=1×2n-1=2n-1，
所以bn=32n-1(n∈N*)．…12分
于是

bk-1

bk-1

=

32k-2

32k-1-1

=

(32k-2+1)-1

(32k-2+1)(32k-2-1)

=

1

32k-2-1

-

1

32k-1-1

．…15分
所以Tn=

n

k=2

bk-1

bk-1

=

n

k=2

(

1

32k-2-1

-

1

32k-1-1

)=

1

2

-

1

32n-1-1

．…16分．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．