Question

12．若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=（x-2）e^2-x的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，且方程f（x）=mx² 只有一個實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． [0，e）
• B． （-∞，e）
• C． {e}
• D． （-∞，0）∪{e}

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，作出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)f（x）與y=mx²的交點(diǎn)個數(shù)判斷．

解答 解：∵f（x）的圖象與函數(shù)y=（x-2）e^2-x的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，
∴f（x）=-[（2-x）-2]e^2-（2-x）=xe^x，
f′（x）=e^x（x+1），
∴當(dāng)x＜-1時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞-1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

顯然，當(dāng)m=0時，f（x）與y=mx²有1個交點(diǎn)，符合題意；排除C，D；
當(dāng)m＜0時，拋物線y=mx²與f（x）的圖象有2個交點(diǎn)，即f（x）=mx²有2個根，不符合題意，排除B，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性判斷，屬于中檔題．