Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點E在CC₁上且C₁E=3EC．
（1）求異面直線A₁D與B₁B所成角的正切值；
（2）證明：A₁C⊥平面BED；
（3）求二面角A₁-DE-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由于AA₁∥BB₁，∠AA₁D是異面直線A₁D與B₁B所成角得到異面直線A₁D與B₁B所成角的正切值．
（2）根據(jù)空間直角坐標系個點坐標，即向量垂直計算，可得A₁C⊥BD，A₁C⊥DE又DB∩DE=D即可得得證．
（3）由（2）知向量

A1C

為平面DBE的一個法向量，根據(jù)向量坐標計算，即可得到二面角A₁-DE-B的余弦值．

解答：解：如圖，建立空間直角坐標系D-xyz．
則B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．

DE

=(0，2，1)，

DB

=(2，2，0)，

A1C

=(-2，2，-4)，

DA1

=(2，0，4)
（1）解：
∵AA₁∥BB₁
∴∠AA₁D是異面直線A₁D與B₁B所成角
∵在Rt△AA₁D中，A₁A=4，AD=2
∴tan∠AA1D=

1

2

即異面直線A₁D與B₁B所成角的正切值為

1

2

（2）證明：
∵

A1C

•

DB

=-4+4+0=0，

A1C

•

DE

=0+4-4=0，
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥DE
又DB∩DE=D
∴A₁C⊥平面DBE
（3）解：
由（2）知向量

A1C

為平面DBE的一個法向量
設平面DA₁E的法向量n=（x，y，z）
由n⊥

DE

，n⊥

DA1

得2y+z=0，2x+4z=0
令z=-2，得x=4，y=1，
∴n=（4，1，-2）cos?

n

，

A1C

?=

n • A1C

| n || A1C |

=

14

42

又二面角A₁-DE-B為銳角
∴二面角A₁-DE-B的余弦值為

14

42

點評：此題主要考查異面直線的角度及余弦值計算．