解:(1)由題意:一條切線方程為:x=2,
設(shè)另一條切線方程為:y-4=k(x-2).(2分)
則:
,
解得:
,此時切線方程為:
切線方程與圓方程聯(lián)立得:
,
則直線AB的方程為x+2y=2.(4分)
令x=0,解得y=1,∴b=1;
令y=0,得x=2,∴a=2
故所求橢圓方程為
.(6分)
(2)設(shè)存在直線
滿足題意,
聯(lián)立
整理得x
2+2mx+2m
2-2=0,
令P(x
1,y
1),Q(x
2,y
2),則
∴x
1+x
2=-2m,
,
△=(2m)
2-8(m
2-1)>0,即m
2<2.(8分)
由
,
得:x
1x
2+y
1y
2=0,
=
所以,
不滿足m
2<2.(10分)
因此不存在直線滿足題意.(12分)
分析:(1)先由題意求出切線方程,把切線方程與圓方程聯(lián)立,求出直線AB的方程,由此能夠求出橢圓方程.
(2)設(shè)存在直線
滿足題意,與橢圓聯(lián)立,得x
2+2mx+2m
2-2=0,令P(x
1,y
1),Q(x
2,y
2),利用韋達定理和根的判別式結(jié)合題設(shè)條件得到不存在直線滿足題意.
點評:本題考查橢圓方程的求法,探索直線方程是否存在.解題時要認真審題,仔細解答,注意直線方程的求法和合理運用.