Question

求和：S_n=（x+）²+（x²+）²+…+（xⁿ+）²．

Answer 1

【答案】分析：先討論當(dāng)x=±1時(shí)，通項(xiàng)為常數(shù)，求出其前n項(xiàng)的和；再求當(dāng)x≠±1時(shí)，將數(shù)列的通項(xiàng)展開，判斷出其是有三個(gè)特殊數(shù)列的和構(gòu)成，兩個(gè)等比數(shù)列一個(gè)等差數(shù)列；利用分組求和的方法，求出前n項(xiàng)和
解答：解：當(dāng)x=±1時(shí)，
∵（xⁿ+）²=4，∴S_n=4n，
當(dāng)x≠±1時(shí)，
∵a_n=x²ⁿ+2+，
∴S_n=（x²+x⁴++x²ⁿ）+2n+（+++）=++2n
=+2n，
所以當(dāng)x=±1時(shí)，S_n=4n；
當(dāng)x≠±1時(shí)，S_n=+2n．
點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和，關(guān)鍵是判斷出數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，然后選擇合適的求和方法．