Question

設(shè)有半徑為3km的圓形村落，A、B兩人同時(shí)從村落中心出發(fā)．B一直向北直行；A先向東直行，出村后一段時(shí)間，改變前進(jìn)方向，沿著與村落邊界相切的直線朝B所在的方向前進(jìn)．
（1）若A在距離中心5km的地方改變方向，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求：A改變方向后前進(jìn)路徑所在直線的方程
（2）設(shè)A、B兩人速度一定，其速度比為3：1，且后來A恰與B相遇．問兩人在何處相遇？（以村落中心為參照，說明方位和距離）

Answer 1

解：（1）建立如圖坐標(biāo)系，則P（5，0），
設(shè)直線方程為y=k（x-5）（k＜0），由圓心到直線的距離等于5，可得
∴k=±，∵k＜0，∴k=-
∴A改變方向后前進(jìn)路徑所在直線的方程為；
（2）由題意可設(shè)A、B兩人速度分別為3v千米/小時(shí)，v千米/小時(shí)，
再設(shè)A出發(fā)x₀小時(shí)，在點(diǎn)P改變方向，又經(jīng)過y₀小時(shí)，在點(diǎn)Q處與B相遇．
則P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)為（3vx₀，0），（0，vx₀+vy₀）．
由|OP|²+|OQ|²=|PQ|²知，（3vx₀）²+（vx₀+vy₀）²=（3vy₀）²，
即（x₀+y₀）（5x₀-4y₀）=0．
∵x₀+y₀＞0，∴5x₀=4y₀…①
將①代入，∴．
又已知PQ與圓O相切，直線PQ在y軸上的截距就是兩個(gè)相遇的位置．
設(shè)直線與圓O：x²+y²=9相切，則有，∴．
答：A、B相遇點(diǎn)在村落中心正北距離千米處
分析：（1）建立坐標(biāo)系，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于5，即可求得直線方程；
（2）先確定PQ的斜率，設(shè)出直線方程，利用PQ與圓O相切，直線PQ在y軸上的截距就是兩個(gè)相遇的位置，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．