Question

設有半徑為3km的圓形村落，A、B兩人同時從村落中心出發(fā)．B一直向北直行；A先向東直行，出村后一段時間，改變前進方向，沿著與村落邊界相切的直線朝B所在的方向前進．
（1）若A在距離中心5km的地方改變方向，建立適當坐標系，求：A改變方向后前進路徑所在直線的方程
（2）設A、B兩人速度一定，其速度比為3：1，且后來A恰與B相遇．問兩人在何處相遇？（以村落中心為參照，說明方位和距離）

Answer 1

分析：（1）建立坐標系，設出直線方程，利用圓心到直線的距離等于5，即可求得直線方程；
（2）先確定PQ的斜率，設出直線方程，利用PQ與圓O相切，直線PQ在y軸上的截距就是兩個相遇的位置，即可求得結論．

解答：解：（1）建立如圖坐標系，則P（5，0），
設直線方程為y=k（x-5）（k＜0），由圓心到直線的距離等于5，可得

|-5k|

k2+1

=3
∴k=±

3

4

，∵k＜0，∴k=-

3

4

∴A改變方向后前進路徑所在直線的方程為y=-

3

4

x+

15

4

；
（2）由題意可設A、B兩人速度分別為3v千米/小時，v千米/小時，
再設A出發(fā)x₀小時，在點P改變方向，又經(jīng)過y₀小時，在點Q處與B相遇．
則P、Q兩點坐標為（3vx₀，0），（0，vx₀+vy₀）．
由|OP|²+|OQ|²=|PQ|²知，（3vx₀）²+（vx₀+vy₀）²=（3vy₀）²，
即（x₀+y₀）（5x₀-4y₀）=0．
∵x₀+y₀＞0，∴5x₀=4y₀…①
將①代入kPQ=-

x0+y0

3x0

，∴kPQ=-

3

4

．
又已知PQ與圓O相切，直線PQ在y軸上的截距就是兩個相遇的位置．
設直線y=-

3

4

x+b與圓O：x²+y²=9相切，則有

|4b|

32+42

=3，∴b=

15

4

．
答：A、B相遇點在村落中心正北距離

15

4

千米處

點評：本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．