Question

8．設(shè)M是圓C₁：x²+（y-2）²=1上的動(dòng)點(diǎn)，N是圓C₂：（x-4）²+（y-1）²=1上的動(dòng)點(diǎn)，P是直線l：x-y-1=0上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|-|PN|的最大值是（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}+2$
• D． $\sqrt{17}$

Answer 1

分析 由于PM-PN≤（PC₁+1）-（PC₂-1）=2+PC₁-PC₂．設(shè)C₂（4，1）關(guān)于直線l：x-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為C₃ （ 2，3），則2+PC₁-PC₂ =2+PC₁-PC₃=≤|C₁C₃|+2≤$\sqrt{5}$+2，由此可得|PM|-|PN|的最大值．

解答 解：圓C₁：x²+（y-2）²=1的圓心為C₁：（0，2）、半徑等于1，
C₂：（x-4）²+（y-1）²=1的圓心C₂（4，1）、半徑為1，
PM-PN≤（PC₁+1）-（PC₂-1）=2+PC₁-PC₂．
設(shè)C₂（4，1）關(guān)于直線l：x-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為C₃ （ h，k），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k-1}{h-4}×1=-1}\\{\frac{h+4}{2}-\frac{k+1}{2}-1=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{h=2}\\{k=3}\end{array}\right.$，可得C₃ （2，3），
則2+PC₁-PC₂ =2+PC₁-PC₃=≤|C₁C₃|+2≤$\sqrt{5}$+2，
即當(dāng)點(diǎn)P是直線C₁C₃和直線l的交點(diǎn)時(shí)，|PM|-|PN|取得最大值為$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．