Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：

x2

4

+y2=1和C2：

x2

16

+

y2

4

=1判斷C₂與C₁是否相似，如果相似則求出C₂與C₁的相似比，若不相似請說明理由；
（2）寫出與橢圓C₁相似且半短軸長為b的橢圓C_b的方程，并列舉相似橢圓之間的三種性質(zhì)（不需證明）；
（3）已知直線l：y=x+1，在橢圓C_b上是否存在兩點M、N關(guān)于直線l對稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓中基本量a、b、c的平方關(guān)系結(jié)合題中數(shù)據(jù)，求出橢圓C₁的特征的特征三角形是腰長為2，底邊長為

3

的等腰三角形，C₁橢圓C₂的特征的特征三角形是腰長為4，底邊長為2

3

的等腰三角形，不難得出兩個橢圓是相似比為2的兩個橢圓；
（2）類比相似三角形的性質(zhì)和中心在原點的橢圓的幾何特征，可得到①橢圓的面積比的性質(zhì)；②橢圓中的相似四邊形；③兩個橢圓公共的割線得到弦的中點重合等幾個特征；
（3）先假設(shè)存在滿足條件的兩點M、N，得到由直線l與已知橢圓聯(lián)列，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合垂直平分的條件，可求得MN中點坐標，再結(jié)合這個中點在直線y=x+1上，得到存在直線y=-x-

5

3

，找到符合題的M、N．最后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長公式：|MN|=

1+k2

|x1-x2 |，可得出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

解答：解：（1）橢圓C₂與C₁相似．
因為C₂的特征三角形是腰長為4，底邊長為2

3

的等腰三角形，
而橢圓C₁的特征三角形是腰長為2，底邊長為

3

的等腰三角形，
因此兩個等腰三角形相似，且相似比為2：1．
根據(jù)題中兩個橢圓相似的定義可得：橢圓C₂與C₁相似．-------（4分）
（2）∵橢圓C_b與橢圓C₁相似
∴橢圓C_b的長軸是短軸的2倍
∵橢圓C_b的半短軸長為b
∴橢圓C_b的方程為：

x2

4b2

+

y2

b2

=1(b＞0)．------------------------（7分）
由（1）可得兩個相似橢圓之間的性質(zhì)有：
①兩個相似橢圓的面積之比為相似比的平方；
②分別以兩個相似橢圓的頂點為頂點的四邊形也相似，相似比即為橢圓的相似比；
③兩個相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點重合，過原點的直線截相似橢圓所得線段長度之比恰為橢圓的相似比．----（10分）
（3）假定存在滿足條件的兩點M、N，則設(shè)M、N所在直線為y=-x+t，MN中點為（x₀，y₀）．
則

y=-x+t x2 4b2 + y2 b2 =1

⇒5x²-8tx+4（t²-b²）=0．-------------------（12分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得

x1+x2= 8t 5 x1•x2= 4(t2-b2)  5

∴x0=

x1+x2

2

=

4t

5

，y0=-

4t

5

+t=

t

5

結(jié)合中點在直線y=x+1上，所以有t=-

5

3

．-------------（16分）
∵|x1-x2|=

( 40 3 )2-20( 100 9 -4b2)

5

=

4

5

5b2- 25 9

∴所求函數(shù)的解析式為：
f(b)=|MN|=

2

|x1-x2|=

4

5

10b2- 50 9

(b＞

5

3

)．-------------（18分）

點評：本題以橢圓為例，考查了圓錐曲線的基本性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系和解析幾何與函數(shù)之間的聯(lián)系等知識點，屬于中檔題．解題過程中用到了“設(shè)而不求”的數(shù)學思想，避免了繁的化簡計算，請同學們加以注意．若不用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系來解決，則容易因計算太繁而至錯．