Question

已知數(shù)列{a_n}滿足前n項和S_n=n²+1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

2

an+1

，且前n項和為T_n，設c_n=T_2n+1-T_n
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）判斷數(shù)列{c_n}的單調性；
（3）當n≥2時，T_2n+1-T_n＜

1

5

-

7

12

log₂（a-1）的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）由數(shù)列{a_n}的前n項和公式S_n=n²+1，先求出a_n，再由b_n=

2

an+1

即可求數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）求出c_n的通項公式，利用作差法求出c_n+1-c_n的符號，即可判斷{c_n}的單調性．
（3）根據（2）求出的T_2n+1-T_n最大值，結合對數(shù)的運算性質解不等式即可．

解答： 解：（1）a₁=2，a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2）．
∴a_n=

2， n=1 2n-1， n≥2

，
∵b_n=

2

an+1

，
∴當n=1時，b₁=

2

3

，
當n≥2時，b_n=

2

an+1

=

2

2n-1+1

=

1

n

，
即b_n=

2 3 ， n=1 1 n ， n≥2

．
（2）∵c_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

，
∴c_n+1-c_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+1

＜0，
∴{c_n}是遞減數(shù)列．
（3）由（2）知，c_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

單調遞減，
則當n=2時，c₂=

1

3

+

1

4

+

1

5

為最大，
由T_2n+1-T_n＜

1

5

-

7

12

log₂（a-1）得，

1

3

+

1

4

+

1

5

＜

1

5

-

7

12

log₂（a-1），

1

3

+

1

4

＜-

7

12

log₂（a-1），
即

7

12

＜-

7

12

log₂（a-1），
即log₂（a-1）＞-1
∴a-1＞

1

2

，
即a＞

5

2

．

點評：本題主要考查數(shù)列遞推關系的應用，根據條件求出數(shù)列的通項公式是解決本題的關鍵．