Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-kx²+2x，x∈R，k∈R．
①若f′（-1）=1，則k的值為-1．
②若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在2個極值點，則k的取值范圍是$\sqrt{2}＜k＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 ①求出原函數(shù)的導函數(shù)，再由f′（-1）=1列式求得k值；
②把函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在2個極值點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f′（x）=x²-2kx+2在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在2個零點，即方程x²-2kx+2=0在區(qū)間（1，2）內(nèi)有兩個不同根，由一元二次方程根的分布得關(guān)于k的不等式組求解．

解答 解：①∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-kx²+2x，
∴f′（x）=x²-2kx+2，
由f′（-1）=（-1）²+2k+2=1，得k=-1；
②∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在2個極值點，
∴函數(shù)f′（x）=x²-2kx+2在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在2個零點，
即方程x²-2kx+2=0在區(qū)間（1，2）內(nèi)有兩個不同根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{k}^{2}-8＞0}\\{1＜-\frac{-2k}{2}＜2}\\{{1}^{2}-2k×1+2＞0}\\{{2}^{2}-2k×2+2＞0}\end{array}\right.$，解得：$\sqrt{2}＜k＜\frac{3}{2}$．
故答案為：①-1；②$\sqrt{2}＜k＜\frac{3}{2}$．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)的極值，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．