Question

10．已知拋物線C：y²=6x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（0，m），m＞0，射線FA于拋物線C交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，若|
MN|=2|FM|，則m=3．

Answer 1

分析 求出拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，過M作MP⊥l于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根據(jù)|PN|=2|PM|，tan∠NMP=-k=2，從而得到AF的斜率k=2．然后求解m的值．

解答 解：∵拋物線C：y²=6x的焦點(diǎn)為F（$\frac{3}{2}$，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，m），
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為l：x=-$\frac{3}{2}$，射線FA于拋物線C交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，
若|MN|=2|FM|，過M作MP⊥l于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|=|PM|，
∵Rt△MPN中，tan∠NMP=-k=2，直線AF的斜率為k=-2，
∴直線AF為：y=-2（x-$\frac{3}{2}$），
x=0時(shí)，m=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題給出拋物線方程和射線FA，利用線段的比值．求解直線的斜率、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．