已知函數(shù)f(x)=x2·ln|x|(x≠0).

(1)求f(x)的最值;

(2)若關(guān)于x的方程f(x)=kx-1無實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍.

 

(1);(2)

【解析】

試題分析:(1)由已知顯然該函數(shù)是偶函數(shù),所以只需研究當(dāng)時的函數(shù)最值,由于函數(shù)是對數(shù)函數(shù),可用導(dǎo)數(shù)法求最值,因此對函數(shù)求導(dǎo),令,判斷導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)的符號確定單調(diào)性,從而可得函數(shù)的最值;(2)由(1)作出函數(shù)的圖像,方程無實數(shù)解時,由圖像可知,求出相切時的值,結(jié)合圖象可確定的范圍.

試題解析:(1)∵f(x)為偶函數(shù),∴我們先求其在(0,+∞)內(nèi)的最值.

求導(dǎo)得:(x)=x(2lnx+1), 令(x)=0 ⇒ 2lnx+1=0 ⇒ x=e,由此易知:

x∈(0, e)時,(x)<0 ⇒ f(x)單調(diào)遞減;x∈(e,+∞)時,(x)>0 ⇒f(x)單調(diào)遞增.

故f(x)在[0,+∞)上的最小值f(x)min=f(e)=-

再由f(x)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對稱即知:f(x)min=-為所求.

(2)由(1)知:f(x)的圖像大致如右圖所示,由圖像知:當(dāng)求出直線y=kx-1

與f(x)的圖像相切時,其斜率k的值后,便可求得該直線與f(x)的圖像無交點,即

方程f(x)=kx-1無實數(shù)解時,其斜率k的取值范圍. 我們先考慮x>0的情況.

設(shè)切點為(x0, y0),x0>0⇒ k切=x0(2ln x0+1)⇒切線方程為:y=x0(2ln x0+1)x+y0-x02(2ln x0+1),

因該切線與y=kx-1重合,故x02(2ln x0+1)=1 ⇒2x02ln x0=1-x02 .此即2 f(x0) =1-x02.(※)

在同一坐標(biāo)系內(nèi),作出函數(shù)y=2f(x), x>0, 與y=1-x2的圖像,可知它們的交點為(1, 0).故方程(※)的解為:x0=1 ⇒k切=1;⇒x>0時,k≥1,直線y=kx-1與f(x)的圖像有交點(即原方程有解).

再根據(jù)f(x)的圖像的對稱性易知:k≤-1時,直線y=kx-1與f(x)的圖像也有交點.

故-1<k<1時,直線y=kx-1與f(x)的圖像無交點,即方程f(x)=kx-1無實數(shù)解.

考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、等性質(zhì),確定函數(shù)的圖象,方程根的取值.

 

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C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

 

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A. B.

C. D.

 

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