Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)f(x)=m(x－1)2－2x+3+lnx（m≥1）．

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，3]上的極小值；

（Ⅱ）求證：函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間[a，b]；

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)m，使曲線C：y=f(x)在點(diǎn)P（1，1）處的切線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值，若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)（x>0）．

當(dāng)時(shí)，，令，得x1=2，x2=．

f(x)，的變化情況如下表：

x	(0，)		（，2）	2	（2，+∞）
	+	0	－	0	+
f(x)	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取到極小值，且極小值為f(2)=ln2－．………………………… 4分

（Ⅱ）令＝0，得mx2－(m+2)x+1=0．  （*）

因?yàn)椤鳎?m+2)2－4m=m2+4>0，所以方程（*）存在兩個(gè)不等實(shí)根，記為a，b（a<b）．

因?yàn)閙≥1，所以

所以a>0，b>0，即方程（*）有兩個(gè)不等的正根，因此<0的解為（a，b）．

故函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間．………………………… 8分

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052401404146875243/SYS201205240142381250567094_DA.files/image009.png">，所以曲線C：y=f(x)在點(diǎn)P(1，1)處的切線l為y=－x+2．

若切線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程m(x－1)2－2x+3+lnx=－x+2有且只有一個(gè)實(shí)根．

顯然x＝1是該方程的一個(gè)根．

令g(x)=m(x－1)2－x+1+lnx，則．

當(dāng)m=1時(shí)，有≥0恒成立，所以g(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以x＝1是方程的唯一解，m=1符合題意．

當(dāng)m>1時(shí)，令＝0，得x1=1，x2=，則x2∈（0，1），易得g(x)在x1處取到極小值，在x2處取到極大值．

所以g(x2)>g(x1)=0，又當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→－∞，所以函數(shù)g(x)在（0，）內(nèi)也有一個(gè)解，即當(dāng)m>1時(shí)，不合題意．

綜上，存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)m＝1時(shí)，曲線C：y=f(x)在點(diǎn)P（1，1）處切線l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 14分

 

【解析】略