Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=

2

，AA₁=2，如圖，
（1）當(dāng)點(diǎn)P在BB₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P∈BB₁，且異于B，B₁）設(shè)PA∩BA₁=M，PC∩BC₁=N，求證：MN∥平面ABCD
（2）當(dāng)點(diǎn)P是BB₁的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線(xiàn)PC與AD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，證明線(xiàn)線(xiàn)平行，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證明線(xiàn)面平行；
（2）先證明∠BNC為異面直線(xiàn)所成的角，因?yàn)辄c(diǎn)P是BB₁的中點(diǎn)，所以根據(jù)比例關(guān)系可求得BN、CN的長(zhǎng)，再△BCN求cos∠BNC，從而求得sin∠BNC．

解答：解：（1）證明：連接MN，∵BP∥AA₁，∴

PM

MA

=

BP

AA1

，
同理

PN

NC

=

BP

CC1

，∵AA₁=CC₁，∴

PM

MA

=

PN

NC

，∴MN∥AC，
又AC?平面ABCD，MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．
（2）∵AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，∴四邊形ABC₁D₁為平行四邊形，
∴AD₁∥BC₁，∴∠BNC為異面直線(xiàn)PC與AD₁所成角，
∵點(diǎn)P是BB₁的中點(diǎn)，∴BP=1=

1

2

CC₁，∴BN=

1

2

NC₁=

1

3

AC₁=

6

3

，
CN=2PN=

2

3

PC=

2 3

3

，BC=

2

，
由余弦定理得cos∠BNC=

BN2+CN2-BC2

2×BN×CN

=0，
∴sin∠BNC=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，考查了線(xiàn)面平行的判定及異面直線(xiàn)所成角的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．