Question

已知函數(shù)f（x）=x²+mx+n有兩個零點-1與3
（1）求出函數(shù)f（x）的解析式，并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若g（x）=f（|x|）對任意x₁，x₂∈[t，t+1]，且x₁≠x₂，都有

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0成立，試求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù) 函數(shù)f（x）=x²+mx+n有兩個零點-1與3，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得m、n的值，可得二次函數(shù)f（x）的解析式，從而求得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）根據(jù) g（x）=f（|x|）的解析式求得它的增區(qū)間，再由條件可得區(qū)間[t，t+1]在函數(shù)g（x）的增區(qū)間內(nèi)，可得 t≥1，或

t+1≤0 t≥-1

，由此求得t的范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+mx+n有兩個零點-1與3，∴

-1+3=-m -1×3=n

，即 

m=-2 n=-3

，
∴f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴函數(shù)的增區(qū)間為[1，+∞）．
（2）∵g（x）=f（|x|）=x²-2|x|-4=

x2-2x-3 ，x≥0 x2+2x-3 ，x＜0

，∴它的增區(qū)間為[1，+∞）、[-1，0]．
對任意x₁，x₂∈[t，t+1]，且x₁≠x₂，都有

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0成立，
∴區(qū)間[t，t+1]在函數(shù)g（x）的增區(qū)間內(nèi)，∴t≥1，或

t+1≤0 t≥-1

．
解得t≥1，或t=-1．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．