Question

在半徑為1的圓周上任取三點(diǎn)，連接成三角形，這個三角形是銳角三角形的概率是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)題意，將圓周按逆時針方向依次標(biāo)記三點(diǎn)為A、B、C，設(shè)出弧AB、弧BC與弧CA的長度，得到所有可能的結(jié)果構(gòu)成的平面區(qū)域與“三點(diǎn)組成銳角三角形”構(gòu)成的平面區(qū)域，分別算出兩個區(qū)域的面積再利用幾何概型公式加以計(jì)算，可得能構(gòu)成銳角三角形的概率．

解答： 解：如圖①，按逆時針方向依次標(biāo)記三點(diǎn)為A、B、C，設(shè)弧AB=x，弧BC=y，弧CA=2π-x-y．

依題意，所有可能的結(jié)果構(gòu)成平面區(qū)域?yàn)椋害?{（x，y）|0＜x＜2π，0＜y＜2π，0＜2π-x-y＜2π}．
事件A=“三點(diǎn)組成銳角三角形”構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)椋篈={（x，y）∈Ω|0＜x＜π，0＜y＜π，0＜2π-x-y＜π}．
分別作出Ω與A中不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，得到兩個三角形及其內(nèi)部區(qū)域，如圖②所示
∵平面區(qū)域Ω的面積為μΩ=

1

2

×2π×2π=2π2，平面區(qū)域A的面積為μA=

1

2

×π×π=

1

2

π2，
∴故所求概率為P(A)=

μA

μΩ

=

1 2 π2

2π2

=

1

4

．
答：這個三角形是銳角三角形的概率是

1

4

．

點(diǎn)評：本題給出圓周上的任意三點(diǎn)，求此三點(diǎn)能構(gòu)成銳角三角形的概率，著重考查了圓內(nèi)接三角形、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和幾何概型計(jì)算公式等知識，屬于中檔題．