Question

3．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)，且α∈[0，π]），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=-2sinθ．
（Ⅰ）求C₁的極坐標(biāo)方程與C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若P是C₁上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l交C₂于點(diǎn)M，N，求|PM|•|PN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出C₁的普通方程，即可求C₁的極坐標(biāo)方程，利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法得出C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線l的參數(shù)方程，代入C₂的直角坐標(biāo)方程得（x₀+tcosα）²+（y₀+tsinα+1）²=1，由直線參數(shù)方程中t的幾何意義可知|PM|•|PN|=|1+2y₀|，即可求|PM|•|PN|的取值范圍．

解答 解：（1）消去參數(shù)可得x²+y²=1，由α∈[0，π），則-1?x?1，0?y?1，
∴曲線C₁是x²+y²=1在x軸上方的部分，
∴曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=1（0?θ?π）．…（2分）
曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+（y+1）²=1；…（5分）
（2）設(shè)P（x₀，y²），則0?y₀?1，直線l的傾斜角為α，
則直線l的參數(shù)方程為：{x=x₀+tcosαy=y₀+tsinα}（t為參數(shù)）．…（7分）
代入C₂的直角坐標(biāo)方程得（x₀+tcosα）²+（y₀+tsinα+1）²=1，
由直線參數(shù)方程中t的幾何意義可知|PM|?|PN|=|1+2y₀|，
因?yàn)??y²?1，
∴|PM|?|PN|=∈[1，3]…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．