如圖，四棱錐中，，，，平面⊥平面，是線段上一點，，．
（1）證明：⊥平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

（1）證明詳見解析；（2）直線與平面所成角的正弦值為.

解析試題分析：（1）要證⊥平面，只須證明與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可，對于的證明，只需要根據(jù)題中面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)即可得出，對于的證明，這需要在平面的直角梯形中根據(jù)及得出，進而可得出，問題得以證明；（2）分別以、、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標系，進而寫出有效點的坐標，設平面的法向量，由確定該法向量的一個坐標，進而根據(jù)線面角的向量計算公式即可得出直線與平面所成角的正弦值.
（1）證明：由已知條件可知：在中，，所以
在中，，所以
所以……①
又因平面⊥平面，面……②
由①②及可得⊥平面
（2）如圖分別以、、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標系

則，,,
所以，
設平面的法向量，則有：
即，取，則
設直線直線與平面所成角為，有
所以直線與平面所成角的正弦值為.
考點：1.空間中的垂直關系；2.空間向量在解決空間角中的應用.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

已知為單位正交基，且，則向量與向量的坐標分別是______________;_________________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一點．
(1)求證：AC⊥DE；
(2)已知二面角A­PB­D的余弦值為，若E為PB的中點，求EC與平面PAB所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，點分別在棱,上移動，且.
當時，證明：直線平面；
是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，平面平面,//,,
,且，.
（1）求證：平面；
（2）求和平面所成角的正弦值；
（3）在線段上是否存在一點使得平面平面，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，,，
平面平面,若，，,，且．

（1）求證：平面； 
（2）設平面與平面所成二面角的大小為，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖長方體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，E為延長線上的一點且滿足.
（1）求證：平面；
（2）當為何值時，二面角的大小為.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱中，P是側棱上的一點，.
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角為60º；
（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的m，
⊥AP，并證明你的結論.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知平面四邊形中，為的中點，，，
且．將此平面四邊形沿折成直二面角，
連接，設中點為．

（1）證明：平面平面；
（2）在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由．
（3）求直線與平面所成角的正弦值．

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