如圖，已知平面四邊形中，為的中點，，，
且．將此平面四邊形沿折成直二面角，
連接，設中點為．

（1）證明：平面平面；
（2）在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由．
（3）求直線與平面所成角的正弦值．

（1）詳見解析；（2）點存在，且為線段上靠近點的一個四等分點；（3）.

解析試題分析：（1）分別證明，即可；（2）方法一：先以為原點，分別為軸，建立直角坐標系，寫出各點坐標，，，，為中點，故，設點，利用平面得，據(jù)此可解出；方法二：作交于，注意到，故與相似，因此，于是得；（3）方法一：由于，即為平面的法向量，，，要求直線與平面所成角的正弦值，記直線與平面所成角為，根據(jù)直線與面的夾角正弦正好等于直線與面的法向量的夾角余弦的絕對值，則知，故只需計算即可，利用余弦公式有，故；方法二：由于，所以可以轉而考慮與平面所成角，為此需要找到在平面內的投影，此投影與所成角即為線面夾角，然后求與平面所成角的正弦，于是在中作，而平面平面，由此平面，即為在平面內的投影，就等于直線與平面所成角， ，
在中，，，
故.
試題解析：（1）直二面角的平面角為，又，<

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，，，，平面⊥平面，是線段上一點，，．
（1）證明：⊥平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點．

（1）設與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：；
（2）在線段上是否存在一點（與兩點不重合），使得∥平面? 若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如下圖，在四棱柱中，底面和側面都
是矩形，是的中點，，.
（1）求證：
（2）求證：平面；
（3）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長度.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,設是一個高為的四棱錐,底面是邊長為的正方形,頂點在底面上的射影是正方形的中心．是棱的中點．試求直線與平面所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，三棱錐中，，，，點在平面內的射影恰為的重心，M為側棱上一動點．

（1）求證：平面平面；
（2）當M為的中點時，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=.

（1）若，求證：AB∥平面CDE；
（2）求實數(shù)的值，使得二面角AECD的大小為60°．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別是AB、BB1的中點，AA1＝AC＝CB＝AB.

(1)證明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角DA1CE的正弦值．.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．
 
(1)求證：BE∥平面PAD；
(2)若BE⊥平面PCD，求平面EBD與平面BDC夾角的余弦值．

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