Question

9．設(shè)二次三項(xiàng)式f（x）=ax²+bx+c的系數(shù)全為正，且a+b+c=1，求證：對(duì)于任何滿足x₁x₂…x_n=1的正數(shù)x₁，x₂，…x_n，都有f（x₁）f（x₂）…f（x_n）≥1．

Answer 1

分析 先證明f（x₁）f（x₂）f（x₃）≥f（x₁x₂）f（x₃）=f（x₁x₂x₃）=f（1）=1，再依此類推，即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵a+b+c=1，
∴f（1）=1，
∵對(duì)于任何滿足x₁x₂…x_n=1的正數(shù)x₁，x₂，…x_n，
∴有f（x₁）f（x₂）=（ax₁²+bx₁+c）（ax₂²+bx₂+c）≥ax₁²x₂²+bx₁x₂+c=f（x₁x₂）．
∴f（x₁）f（x₂）f（x₃）≥f（x₁x₂）f（x₃）=f（x₁x₂x₃）=f（1）=1，
…
∴f（x₁）f（x₂）…f（x_n）≥…f（x₁x₂…x_n）≥f（1）=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，證明f（x₁）f（x₂）f（x₃）≥f（x₁x₂）f（x₃）=f（x₁x₂x₃）=f（1）=1是關(guān)鍵．