Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（2sinβ，2cosβ），且|2k

a

+

b

|=

3

|2

a

-k

b

|（k＞0），設

a

與

b

的夾角為θ．
（1）求cosθ與k的函數關系式；
（2）當θ取最大值時，求α，β滿足的關系式．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的坐標表示、模、夾角

專題：計算題,平面向量及應用

分析：（1）依題意，將等式|2k

a

+

b

|=

3

|2

a

-k

b

|（k＞0）兩邊平方，利用向量的數量積，整理可得k²-4kcosθ+1=0，從而可得cosθ與k的函數關系式；
（2）由（1）知cosθ=

1

4

（k+

1

k

）（k＞0），利用基本不等式可求得cosθ=

1

4

（k+

1

k

）≥

1

2

，又θ∈[0，π]，可求得θ的最大值，繼而可得α，β滿足的關系式．

解答： 解：（1）∵|2k

a

+

b

|=

3

|2

a

-k

b

|（k＞0），
∴等式兩邊平方，
得：4k²

a

2+4k

a

•

b

+

b

2=3（4

a

2-4k

a

•

b

+k²

b

2），
∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（2sinβ，2cosβ），
∴

a

2=1，

b

2=4，又＜

a

，

b

＞=θ，
∴4k²+4k×1×2cosθ+4=12-12k×1×2cosθ+12k²，
整理得，k²-4kcosθ+1=0，
∴cosθ=

1

4

（k+

1

k

）（k＞0）；
（2）由（1）知，k＞0，cosθ=

1

4

（k+

1

k

）≥

1

2

，又θ∈[0，π]，
∴0≤θ≤

π

3

，
∴θ_max=

π

3

，
∴當θ取最大值

π

3

時，

a

=（

1

2

，

3

2

），

b

=（

3

，1），
∴

a

•

b

=

1

2

×

3

+

3

2

×1=

3

，
又

a

•

b

=2cosαsinβ+2sinαcosβ=2sin（α+β），
∴2sin（α+β）=

3

，
∴sin（α+β）=

3

2

，
∴α+β=2nπ+

π

3

，或α+β=2nπ+

2π

3

（n∈Z）．

點評：本題考查平面向量數量積的坐標表示及夾角，考查基本不等式及兩角和的正弦，考查等價轉化思想與綜合運算能力，屬于難題．