Question

在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，∠A為直角，P為AB中點，M、N分別是BC，AC上任一點，則△MNP周長的最小值是

 

．

Answer 1

考點：兩點間的距離公式

專題：直線與圓

分析：如圖所示．建立直角坐標系．作出點P關于y軸的對稱點E，考點|PN|=|EN|．作出點P關于直線BC的對稱點F．可得|PM|=|MF|，利用軸對稱的性質可得F．于是△MNP周長l=|PN|+|MN|+|PM|=|EN|+|MN|+|MF|．當且僅當四點E，N，M，F在同一條直線上△MNP周長l取得最小值|EF|．再利用兩點間的距離公式可得．

解答： 解：如圖所示．建立直角坐標系．
作出點P關于y軸的對稱點E，則|PN|=|EN|．
∵點P是線段AB的中點，AB=2．
∴P（1，0），
∴E（-1，0）．
作出點P關于直線BC的對稱點F，則|PM|=|MF|．
∵|AC|=4，∴C（0，4）．
∴直線BC的方程為

x

2

+

y

4

=1，化為2x+y=4．
設F（m，n），則

n-0 m-1 ×(-2)=-1 1+m 2 ×2+ n+0 2 =4

，解得

m= 13 5 n= 4 5

．
∴F(

13

5

，

4

5

)．
∴△MNP周長l=|PN|+|MN|+|PM|
=|EN|+|MN|+|MF|．
當且僅當四點E，N，M，F在同一條直線上△MNP周長l取得最小值|EF|．
|EF|=

(-1- 13 5 )2+( 4 5 )2

=

2 85

5

．
故答案為：

2 85

5

．

點評：本題考查了軸對稱的性質、兩點間的距離公式、直線的方程，考查了轉化能力和推理能力，屬于難題．