已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0），傾斜角為45°的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)且交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的左頂點(diǎn)為（-2，0），離心率e=
1
2
，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)向量
OP
=λ（
OA
+
OB
）（λ＞0），若點(diǎn)P在橢圓C上，求λ的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知a=2，e=
c
a
=
1
2
，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=x-c．由
y=x-c
x2
a2
+
y2
b2
=1
，得（b2+a2）x2-2a2cx+a2（c2-b2）=0，由此利用韋達(dá)定理、向量知識，結(jié)合已知條件能求出λ的取值范圍．
解答： （本小題滿分12分）
解：（1）由已知a=2，e=
c
a
=
1
2
，
∴c=1，b2=a2-c2=3，
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．…（3分）．
（2）設(shè)直線l的方程為y=x-c．
由
y=x-c
x2
a2
+
y2
b2
=1
，得（b2+a2）x2-2a2cx+a2（c2-b2）=0，
∴x1+x2=
2a2c
a2+b2
，從而y1+y2=
-2b2c
a2+b2
．…（5分）
∴
OA
+
OB
=(
2a2c
a2+b2
，
-2b2c
a2+b2
)，
OP
=λ(
OA
+
OB
)=(
2λa2c
a2+b2
，
-2λb2c
a2+b2
)，
∵點(diǎn)P在橢圓C上，∴
(
2λa2c
a2+b2
)2
a2
+
(
-2λb2c
a2+b2
)2
b2
=1…（8分）
4λ2a2c2+4λ2b2c2=（a2+b2）2，
解得λ2=
a2+b2
4c2
…（10分）
∴c2+b2=a2，e=
c
a
，且0＜e＜1，
∴λ2=
a2+b2
4c2
=
2a2-c2
4c2
=
1
2e2
-
1
4
＞
1
4

又λ＞0，∴λ＞
1
2
即λ的取值范圍是(
1
2
，+∞)．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|-2≤x≤4}，B={x|x＞a}，3∈A∩B，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜
π
2
）的一系列對應(yīng)值如下表：
x…-
π
6
 
π
3
 
5π
6
 
4π
3
 
11π
6
 
7π
3
 
17π
6
…
y…-2 0 2 0-2 0 2…
（Ⅰ）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（kx）（k＜0）的最小正周期為
2π
3
，且當(dāng)x∈[0，
4π
9
）時，方程f（kx）=m恰有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍，并求這兩個實數(shù)解的和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是線段D1E與C1F上的點(diǎn)，則與平面ABCD垂直的直線MN有
 
條．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（1，0），B（-1，0），P是平面上的一個動點(diǎn)，且滿足|
PA
|•|
AB
|=
PB
•
AB
，
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若直線y=x+m（m≠0）與點(diǎn)P的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，且
OM
⊥
ON
，求m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）求值：sin
9π
4
+cos
2π
3
+tan
5π
4
；
（Ⅱ）已知cosx=
3
5
，0＜x＜
π
2
，求sinx和tanx的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

隨機(jī)抽取某中學(xué)高一年級學(xué)生的一次數(shù)學(xué)統(tǒng)測成績得到一樣本，其分組區(qū)間和頻數(shù)：[50，60），2：[60，70），7：[70，80），10：[80，90），x[90，100]，2，其頻率分布直方圖受到破壞，可見部分如圖所示，據(jù)此解答如下問題：
（1）求樣本的人數(shù)及x的值；
（2）從成績不低于80分的樣本中隨機(jī)選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某校高二年紀(jì)在依次數(shù)學(xué)必修模塊考試后隨機(jī)抽取40名學(xué)生的成績，按成績共分為五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100），得到的頻率直方圖如圖所示，同時規(guī)定成績在90分以上的記為A級，成績小于90分的記為B級．
（1）如果用分層抽樣的方法從成績?yōu)锳和B的學(xué)生中共選出10人，求成績?yōu)锳和B的學(xué)生各選出幾人．
（2）已知a是在（1）中選出的成績?yōu)锽的學(xué)生中的一個，若從選出的成績?yōu)锽的學(xué)生中選出2人參加某問卷調(diào)查，求a被選中的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)lnx＜ax對于x∈（0，+∞）上恒成立時，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若k，n∈N*，且1≤k≤n，證明：
1
(1+
1
n
)n
+
1
(1+
2
n
)n
+…+
1
(1+
k
n
)n
+…+
1
(1+
n
n
)n
＞
1
e-1
(1-
1
en
)．

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