Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當lnx＜ax對于x∈（0，+∞）上恒成立時，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若k，n∈N^*，且1≤k≤n，證明：

1

(1+ 1 n )n

+

1

(1+ 2 n )n

+…+

1

(1+ k n )n

+…+

1

(1+ n n )n

＞

1

e-1

(1-

1

en

)．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的導數(shù)與最值的關(guān)系確定實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當a=1時，f（x）=lnx-x的最大值為-1，從而可證．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

-a（x＞0）
當a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當a＞0時，f'（x）＞0⇒x∈(0，

1

a

)；
f'（x）＜0⇒x∈(

1

a

，+∞)，
∴f（x）在(0，

1

a

)上是增函數(shù)，f（x）在(

1

a

，+∞)上是減函數(shù)．
（2）lnx＜ax對于（0，+∞）上恒成立?f（x）_max＜0
由（1）知：a≤0時，舍．
當a＞0時，f(x)max=ln

1

a

-1＜0
∴a＞

1

e

，
故a的取值范圍是(

1

e

，+∞)．
（3）由（2）知：a=1時，f(x)max=ln

1

a

-1=-1，有l(wèi)nx-x＜-1，有：lnx＜x-1
令x=1+

k

n

，代入上式⇒ln(1+

k

n

)＜

k

n

⇒nln(1+

k

n

)＜k⇒ln(1+

k

n

)n＜k⇒(1+

k

n

)n＜ek．
所以

1

(1+ 1 n )n

+

1

(1+ 2 n )n

+…+

1

(1+ k n )n

+…+

1

(1+ n n )n

＞

1

e

+

1

e2

+…+

1

en

=

1

e-1

(1-

1

en

)．
問題得以證明．

點評：本題主要考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會熟練運用導數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題．