Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且滿足f（x+2）+2f（-x）=0；給出下列結(jié)論：①f（2）=0②f（x+2）=2f（x）③f（x+4）=4f（x）④f（x+6）=6f（x）其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：①由f（x+2）+2f（-x）=0得f（x+2）=-2f（-x），令x=0結(jié)合奇函數(shù)，有f（0）=0，從而可求f（2）；
②由f（x-2）=-f（x）可得f（x-4）=-f（x-2）=f（x）可對(duì)②進(jìn)行判斷；
③由上面可得f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），故③正確；
④采用賦值法可得f（x+6）=2f（x+4）=8f（x），故④不正確．
解答：解：（1）∵f（x+2）+2f（-x）=0得f（x+2）=-2f（-x），
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（2）=-2f（0）=0，
∴f（2）=0故①正確；
②∵f（x+2）=-2f（-x），且函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），
∴f（x+2）=2f（x）
故②正確；
③由上面可得f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），故③正確；
④f（x+6）=2f（x+4）=8f（x），故④不正確．
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是3．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用函數(shù)的奇偶性、周期性等，屬于綜合性試題．