在直角坐標系中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程；
⑵設(shè)P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線，當直線都與圓相切時，求P點坐標.

（1）；（2）．

解析試題分析：（1）圓心坐標是已知的，故橢圓的焦點是已知的，從而半焦距已知了，又有離心率，故半長軸長也能求出，從而求出，而根據(jù)題意，橢圓方程是標準方程，可其方程易得；（2）設(shè)P點坐標為，再設(shè)一條切線的斜率為，則另一條切線的斜率為，三個未知數(shù)需要三個方程，點P在橢圓上，一個等式，兩條直線都圓的切線，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑又得到兩個等式，三個等量關(guān)系，三個未知數(shù)理論上可解了，當然具體解題時，可設(shè)切線斜率為，則點斜率式寫出直線方程，利用圓心到切線距離等于圓半徑得出關(guān)于的方程，而是這個方程的兩解，由韋達定理得，這個結(jié)果又是，就列出了關(guān)于P點坐標的一個方程，再由P點在橢圓上，可解出P點坐標．
試題解析：（1）圓的標準方程為，圓心為，所以，又，，，而據(jù)題意橢圓的方程是標準方程，故其方程為．4分
（2）設(shè)，得
∵，依題意到的距離為
整理得同理

∴是方程的兩實根10分
12分
∴14分
16分
考點：（1）橢圓的標準方程；（2）圓的切線．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知的兩頂點坐標，，圓是的內(nèi)切圓，在邊，，上的切點分別為，（從圓外一點到圓的兩條切線段長相等），動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)直線與曲線的另一交點為，當點在以線段為直徑的圓上時，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，設(shè)P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|＝|PD|，當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，焦距為2，離心率為
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線經(jīng)過點（0,1），且與橢圓C交于兩點，若，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，直線y＝kx＋b與橢圓交于A、B兩點，記△AOB的面積為S．

（1）求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（2）當｜AB｜＝2，S＝1時，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點P（4，0）且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若B點關(guān)于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（－1,1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為．
(Ⅰ）求橢圓的方程；
(Ⅱ）已知動直線與橢圓相交于、兩點． ①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；②若點，求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)雙曲線以橢圓的兩個焦點為焦點,且雙曲線的一條漸近線是，
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于不同兩點,且都在以為圓心的圓上,求實數(shù)的取值范圍.

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