Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-b|，其中a，b為常數(shù)．
（1）當(dāng)a=b＞0時，解關(guān)于x的不等式f（x）≥4a；
（2）若a＞0，b＞0，且

2

a

+

2

b

=

ab

，證明：f（x）≥4．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,基本不等式

專題：選作題,不等式

分析：（1）當(dāng)a=b＞0時，不等式f（x）≥4a等價于|x+a|+|x-a|≥4a，分類討論，可解關(guān)于x的不等式f（x）≥4a；
（2）利用基本不等式證明ab≥4，再利用f（x）=|x+a|+|x-b|≥|（x+a）-（x-b）|=a+b，可得結(jié)論．

解答： （1）解：當(dāng)a=b＞0時，不等式f（x）≥4a等價于|x+a|+|x-a|≥4a，
x≤-a，不等式f（x）≥4a等價于-（x+a）-（x-a）≥4a，∴x≤-2a；
-a＜x＜a，不等式f（x）≥4a等價于（x+a）-（x-a）≥4a，∴無解；
x≥a，不等式f（x）≥4a等價于（x+a）+（x-a）≥4a，∴x≥2a；
綜上，不等式的解集為{x|x≤-2a或x≥2a}；
（2）證明：∵a＞0，b＞0，且

2

a

+

2

b

=

ab

，
∴

ab

≥2

2 a • 2 b

，
∴ab≥4，
∴f（x）=|x+a|+|x-b|≥|（x+a）-（x-b）|=a+b≥2

ab

≥4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．