已知凼數(shù)f(x)=2sin(π+x)sin(x+
π
2
)+2
3
cos2x
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在銳角△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,若f(A)=0,b=4,c=3,點D為BC上一點,且對于任意實數(shù)t恒有|
AB
+t
BC
|≥|
AD
|成立,求AD的最大值.
考點:正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值
專題:計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用
分析:(1)運用誘導(dǎo)公式和二倍角公式以及兩角差的正弦公式,化簡f(x),再由正弦函數(shù)的減區(qū)間,解不等式即可得到所求增區(qū)間;
(2)由f(A)=0,可得A,由余弦定理可得a,再由向量的平方即為模的平方,結(jié)合恒成立即有判別式小于等于0,解關(guān)于t的不等式,即可得到最大值.
解答: 解:(1)f(x)=2sin(π+x)sin(x+
π
2
)+2
3
cos2x
即為f(x)=-2sinxcosx+2
3
cos2x=-sin2x+
3
(1+cos2x)
=
3
-2(
1
2
sin2x-
3
2
cos2x)=
3
-2sin(2x-
π
3
),
令2kπ+
π
2
≤2x-
π
3
2kπ+
2
,
解得kπ+
12
≤x≤kπ+
11π
12
,k∈Z,
即有f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ+
12
,kπ+
11π
12
],k∈Z;
(2)若f(A)=0,即為
3
-2sin(2A-
π
3
)=0,
即sin(2A-
π
3
)=
3
2
,由于A為銳角,則2A-
π
3
=
π
3
,即有A=
π
3
,
由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccosA=16+9-2×4×3×
1
2

=13,即有a=
13

cosB=
c2+a2-b2
2ca
=
9+13-16
2×3×
13
=
1
13
,
對于任意實數(shù)t恒有|
AB
+t
BC
|≥|
AD
|成立,
即有(
AB
+t
BC
2≥|
AD
|2,
即為c2+t2a2+2t
AB
BC
≥|
AD
|2,
即為9+13t2-2t×
13
×
1
13
≥|
AD
|2,
即有13t2-6t+9-|
AD
|2≥0,
即有判別式△≤0,
即36-4×13×(9-|
AD
|2)≤0,
解得|
AD
|≤
6
39
13

即有AD的最大值為
6
39
13
點評:本題考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正弦公式,考查正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查余弦定理以及向量的平方即為模的平方,以及二次不等式恒成立的解法,屬于中檔題和易錯題.
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1
2
,乙每個階段獲勝的概率為
3
4

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2x-y-2≤0
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x+y+2≥0
,則z=-3x+2y的最大值為( 。
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2
a
+
2
b
=
ab
,證明:f(x)≥4.

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π
6
)(ω>0)在(0,
3
]上單調(diào)遞增,在(
3
,2π]上單調(diào)遞減,
(1)求ω的值;
(2)當(dāng)x∈[π,2π]時,不等式m-3≤f(x)≤m+3恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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π
6
)圖象向右平移m(m>0)個單位,得到函數(shù)y=f(x)的圖象,若y=f(x)在區(qū)間[-
π
6
,
π
3
]上單調(diào)遞增,則m的最小值為( 。
A、
π
3
B、
π
4
C、
π
6
D、
π
12

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