Question

已知拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，且橢圓的長軸長為4

2

，左右頂點(diǎn)分別為A，B，經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）記△ABD與△ABC的面積分別為S₁和S₂，且|S₁-S₂|=4，求直線l方程；
（3）橢圓的上頂點(diǎn)G作直線m、n，使m⊥n，直線m、n分別交橢圓于點(diǎn)P、Q．問：PQ是否過一定點(diǎn)，若是求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線y²=8x，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而橢圓中的c=2，又橢圓的a=2

2

，即可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）設(shè)直線l：x=my-2，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合|S₁-S₂|=2，即可求直線l方程；
（3）設(shè)直線m：y=kx+2，代入橢圓方程，求出P的坐標(biāo)，同理可得Q的坐標(biāo)，求出直線PQ的方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題設(shè)可知拋物線y²=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）
故橢圓中的c=2，又橢圓的a=2

2

，
所以b²=a²-c²=4
故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

8

+

y2

4

=1…（4分）
（2）由題意可設(shè)直線l：x=my-2，代入橢圓方程得（m²+2）y²-4my-4=0
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（-2

2

，0），B（2

2

，0）
則y1+y2=

4m

m2+2

，…（6分）
于是|S1-S2|=

1

2

×4

2

×|y1+y2|=2

2

|

4m

m2+2

|=4
解得m=±

2

，故直線l的方程為x±

2

y+2=0．            …（8分）
（3）易知G（0，2），直線m、n的斜率顯然存在，設(shè)直線m：y=kx+2，代入橢圓方程得x²+2（kx+2）²=8，即（2k²+1）x²+8kx=0，
解得P(-

8k

1+2k2

 ， 

2-4k2

1+2k2

)．
同理，直線n的方程為y=-

1

k

x+2，Q(

8k

k2+2

 ， 

2k2-4

k2+2

)．…（10分）
故直線PQ的方程為y-

2-4k2

1+2k2

=

k2-1

3k

(x+

8k

1+2k2

)，…（12分）
即y=

k2-1

3k

x-

2

3

所以，直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)(0 ， -

2

3

)．  …（14分）

點(diǎn)評：本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．