Question

1．定長是3的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線y²=x上移動(dòng)，M是線段AB的中點(diǎn)，則M到y(tǒng)軸距離的最小值是$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 先設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線方程可求得其準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可表示出M到y(tǒng)軸距離，根據(jù)拋物線的定義，以及利用兩邊之和大于第三邊且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)判斷出 $\frac{|AF|+|BF|}{2}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{|AB|}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，進(jìn)而求得其最小值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），焦點(diǎn)為F（$\frac{1}{4}$，0）
拋物線準(zhǔn)線x=-$\frac{1}{4}$所求的距離為S=|$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$|
=$\frac{{x}_{1}+\frac{1}{4}{+x}_{2}+\frac{1}{4}}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{|AF|+|BF|}{2}$-$\frac{1}{4}$，
[兩邊之和大于第三邊且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)]
∴$\frac{|AF|+|BF|}{2}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{|AB|}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．