如圖，已知、、為不在同一直線上的三點，且，.

（1）求證：平面//平面；
（2）若平面，且，，，求證：平面；
（3）在（2）的條件下，求二面角的余弦值.
（1）詳見解析；（2）詳見解析：（3）.

試題分析：（1）通過證明平行四邊形分別證明和，利用直線與平面平行的判定定理得到平面和平面，最后利用平面與平面平行的判定定理證明平面平面；（2）證法1是先證明平面，于是得到，由再由四邊形為正方形得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；證法2是建立以以點為原點，分別以、、所在的直線為、、軸的空間直角坐標系，利用空間向量法來證明平面；（3）在（2）的基礎上利用空間向量法求出二面角的余弦值.
試題解析：（1）證明：且，四邊形是平行四邊形，，
面，面平面，
同理可得平面，又，平面平面；
（2）證法1：平面，平面，平面平面，
平面平面，
，，，，，平面，
，，，
又，得為正方形，，
又，平面；
證法2：，，，，，
平面，，平面，
以點為原點，分別以、、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標系如圖示，由已知可、、、、、，
則，，，
，，，，
又，平面.

（3）由（2）得，，
設平面的法向量，則由，得，
令得，
由（2）知是平面的法向量，，
即二面角的余弦值為.
（其它解法請參照給分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面，是矩形，，點是的中點，點是邊上的動點.

（Ⅰ）求三棱錐的體積；
（Ⅱ）當點為的中點時，試判斷與平面的位置關系，并說明理由；
（Ⅲ）證明：無論點在邊的何處，都有.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，平面平面,，．設，分別為，中點.

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面;
（Ⅲ）試問在線段上是否存在點，使得過三點 ,,的平面內的任一條直線都與平面平行？若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示的四棱錐中，底面為菱形，平面，為 的中點，

求證：（I）平面； （II）平面⊥平面.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖①，△BCD內接于直角梯形，A1D∥A2A3，A1A2⊥A2A3，A1D＝10，A1A2＝8，沿△BCD三邊將△A1BD、△A2BC、△A3CD翻折上去，恰好形成一個三棱錐ABCD，如圖②.

(1)求證：AB⊥CD；
(2)求直線BD和平面ACD所成的角的正切值；
(3)求四面體的體積。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在正方體中，過對角線的一個平面交棱于E，交棱于F，則：①四邊形一定是平行四邊形；②四邊形有可能是正方形；③四邊形有可能是菱形；④四邊形有可能垂直于平面.
其中所有正確結論的序號是         .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設、是兩個不重合的平面，m、m是兩條不重合的直線，則以下結論錯誤的是
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

下列命題中，錯誤的是 (      )
A．一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個平面相交
B．平行于同一平面的兩個不同平面平行
C．如果平面不垂直平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面
D．若直線不平行平面，則在平面內不存在與平行的直線

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