Question

如圖①，△BCD內(nèi)接于直角梯形，A₁D∥A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，A₁D＝10，A₁A₂＝8，沿△BCD三邊將△A₁BD、△A₂BC、△A₃CD翻折上去，恰好形成一個三棱錐ABCD，如圖②.

(1)求證：AB⊥CD；
(2)求直線BD和平面ACD所成的角的正切值；
(3)求四面體的體積。

Answer 1

(1)詳見解析；(2) ； (3)

試題分析：（1）平面圖中因為A₁D∥A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A_{3，所以}，立體圖中不變，即，可證得,就可證出AB⊥CD。（2）由（1）知AB⊥平面ACD.，所以AD即為BD在面ACD內(nèi)的射影，所以∠BDA即為所求。在直角三角形中利用三角函數(shù)可求其正切值。（3）由（1）知，所以可以選以面ADC為底面，以AB為高求其體積。
試題解析：(1)證明：∵在直角梯形A₁A₂A₃D中，A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C，
∴在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，AB⊥AC.
∵AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.
∵CD?平面ACD，∴AB⊥CD.
(2)解：由(1)知AB⊥平面ACD，
∴AD為BD在平面ACD內(nèi)的射影，
∠BDA是直線BD和平面ACD所成的角．
依題意，在直角梯形A₁A₂A₃D中，
A₁D＝A₃D＝10，A₁B＝A₂B＝4，
∴在三棱錐ABCD中，AD＝10，AB＝4.
在Rt△ABD中，tan ∠BDA＝＝＝.
∴直線BD和平面ACD所成的角的正切值為.
（3）由(2)得: