Question

已知圓x²+y²=4上一定點(diǎn)A（2，0），B（1，1）為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)。
（1）求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；
（2）若∠PBQ=90°，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。

Answer 1

解：（1）設(shè)AP中點(diǎn)為M（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2x-2，2y）
∵P點(diǎn)在圓x²+y²=4上，
∴（2x-2）²+（2y）²=4
故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為（x-1）²+y²=1。
（2）設(shè)PQ的中點(diǎn)為N（x，y），
在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連結(jié)ON，則ON⊥PQ，
所以|OP|²=|ON|²+|PN|²=|ON|²+|BN|²，
所以x²+y²+（x-1）²+（y-1）²=4
故PQ中點(diǎn)N的軌跡方程為x²+y²-x-y-1=0。