Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，下列四個關(guān)于f（x）的命題中：
①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）在[0，1]上是減函數(shù)；
③f（x）在[1，2]上是增函數(shù)；
④f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱．
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：由于定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，由此可以得出其周期是2，在[0，1]上是減函數(shù)，①f（x）是周期函數(shù)，由f（x+1）=-f（x）證明．
②f（x）在[0，1]上是減函數(shù)；由偶函數(shù)的對稱性求證；
③f（x）在[1，2]上是增函數(shù)；由周期性求證；
④f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱．由f（x+1）=-f（x）及f（x）是偶函數(shù)來證．
解答：解：由f（x+1）=-f（x），得f（x+1）=-f（x）=f（x-1），故函數(shù)的周期是2，①正確；
f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，又函數(shù)是偶函數(shù)，故函數(shù)f（x）在[0，1]上是減函數(shù)；②正確；
由 f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，又函數(shù)是周期為2的函數(shù)，故可得f（x）在[1，2]上是增函數(shù)；③正確；
由f（x+1）=-f（x）=f（x-1），又函數(shù)是偶函數(shù)，故有f（1+x）=f（1-x），故函數(shù)的對稱軸是x=1，④正確．
故應(yīng)選D．
點(diǎn)評：本題利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性進(jìn)行判斷證明，本解法靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)與題設(shè)中的恒等式對幾個命題進(jìn)行證明，安排恰當(dāng)合理，值得借鑒．