Question

已知向量

a

=（1，cos

x

2

）與

b

=（

3

sin

x

2

+cos

x

2

，y）共線，且有函數(shù)y=f（x）．
（Ⅰ）若f（x-

π

6

）=1，x∈（0，2π），求x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足2acosC+c=2b，求函數(shù)f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）通過向量共線，以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，利用f（x-

π

6

）=1，x∈（0，2π），即可求x的值；
（Ⅱ）利用正弦定理化簡2acosC+c=2b，求出A的大小，結合B的范圍，即可求函數(shù)f（B）的取值范圍．

解答： 解（Ⅰ）∵向量

a

=（1，cos

x

2

）與

b

=（

3

sin

x

2

+cos

x

2

，y）共線，
∴y=cos

x

2

(

3

sin

x

2

+cos

x

2

)
=

3

2

sinx+

1

2

(1+cosx)=sin(x+

π

6

)+

1

2

，
∵f(x-

π

6

)=1，
∴f(x)=sinx+

1

2

=1，
即sinx=

1

2

，x=

π

6

，

5π

6

（Ⅱ）已知2acosC+c=2b，由正弦定理得：

2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C) 2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC

∴cosA=

1

2

，
∴在△ABC中∠A=

π

3

.f(B)=sin(B+

π

6

)+

1

2

∵∠A=

π

3

∴0＜B＜

2π

3

，

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(B+

π

6

)≤1，1＜f(B)≤

3

2

∴函數(shù)f（B）的取值范圍為(1， 

3

2

]．

點評：本題考查正弦定理的應用，三角函數(shù)的圖象與性質的應用，考查計算能力．